波函数、Dirac 表示与矩阵表示的对比
微观粒子的运动状态
表示形式
波函数表示：
微观粒子状态通过波函数 \(\psi(x)\) 描述，模平方 \(|\psi(x)|^2\) 表示粒子在位置 \(x\) 的概率密度。
波函数满足薛定谔方程：
\[
i\hbar \frac{\partial \psi(x,t)}{\partial t} = \hat{H} \psi(x,t)
\]
Dirac 表示
在 Dirac 表示中，量子态通过态矢量 \(|\psi\rangle\) 表示，称为右矢，是波函数的一种抽象形式。
对于任意算符 \(\hat{A}\)，其作用在态矢量上表现为：
\[
\hat{A} |\psi\rangle
\]
相应地，左矢是右矢的共轭转置，用 \(\langle \psi|\) 表示。
如果右矢 \(|\psi\rangle\) 是列向量 （当然这有点像矩阵表示）：
\[
|\psi\rangle = \begin{pmatrix}
a_1 \\
a_2 \\
\vdots \\
a_n
\end{pmatrix}
\]
则左矢 \(\langle \psi|\) 是其共轭转置，即：
\[
\langle \psi| = \begin{pmatrix}
a_1^* & a_2^* & \cdots & a_n^*
\end{pmatrix}
\]
矩阵表示
在矩阵表示中，态矢量表示为列向量：
\[
|\psi\rangle = \begin{pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \vdots \\ a_n \end{pmatrix}
\]
相应的力学量（算符）用矩阵表示，态的演化可通过矩阵运算进行。
归一化、束缚态、游离态
波函数表示
归一化条件：
\[
\int |\psi(x)|^2 dx = 1
\]
束缚态：
波函数在无穷远趋于零：
\[
\lim_{|x| \to \infty} \psi(x) = 0
\]
能量对应哈密顿算符的离散本征值。
游离态：
波函数在无穷远处不归零，通常为平面波形式：
\[
\psi(x) \sim e^{ikx}
\]
能量对应哈密顿算符的连续本征值。
Dirac 表示
归一化条件：
\[
\langle \psi | \psi \rangle = 1
\]
束缚态：
能量离散，对应哈密顿算符的离散本征值 \(\{E_n\}\)：
\[
\hat{H} |\psi_n\rangle = E_n |\psi_n\rangle
\]
态矢量在完备基中展开为有限和：
\[
|\psi\rangle = \sum_n c_n |\psi_n\rangle
\]
游离态：
能量连续，对应哈密顿算符的连续本征值 ：
\[
\hat{H} |\psi_E\rangle = E |\psi_E\rangle
\]
游离态的正交性用狄拉克归一化表示（真正交，假归一）：
\[
\langle \psi_E | \psi_{E'} \rangle = \delta(E - E')
\]
矩阵表示
归一化条件：
\[
\psi^\dagger \psi = 1
\]
束缚态：
本征值为离散的矩阵特征值。
对应的态分量在有限维空间中用列向量表示。
游离态：
本征值为连续的矩阵特征值。
对应态分量在无穷维空间中表示。
正交
波函数表示
在波函数表示中，不同状态的正交性表明波函数的内积为零，即：
\[
\int \psi_m^*(x) \psi_n(x) dx = 0, \quad m \neq n
\]
对于连续谱中的游离态，其正交性满足狄拉克归一化条件：
\[
\int \psi_E^*(x) \psi_{E'}(x) dx = \delta(E - E')
\]
Dirac 表示中
在 Dirac 表示中，量子态的正交性体现在内积为零：
\[
\langle \psi_m | \psi_n \rangle = 0, \quad m \neq n
\]
对于离散谱的束缚态，正交性条件为：
\[
\langle \psi_n | \psi_m \rangle = \delta_{nm}
\]
对于连续谱的游离态，正交性条件满足狄拉克归一化：
\[
\langle \psi_E | \psi_{E'} \rangle = \delta(E - E')
\]
矩阵表示
在矩阵表示中，态矢量的正交性用向量内积表示：
\[
\psi_m^\dagger \psi_n = 0, \quad m \neq n
\]
其中 \(\psi_m^\dagger\) 是态矢量 \(\psi_m\) 的共轭转置。
对于离散态的正交性：
\[
\psi_n^\dagger \psi_m = \delta_{nm}
\]
对于连续态的正交性，满足狄拉克归一化条件：
\[
\psi_E^\dagger \psi_{E'} = \delta(E - E')
\]
力学量
矩阵元
波函数表示：
矩阵元通过波函数积分定义：
\[
A_{ij} = \int \psi_i^*(x) \hat{A} \psi_j(x) dx
\]
Dirac 表示：
矩阵元表示为：
\[
A_{ij} = \langle \phi_i | \hat{A} | \phi_j \rangle
\]
矩阵表示：
力学量 \(\hat{A}\) 的矩阵表示为：
\[
A_{ij} = \psi_i^\dagger \hat{A} \psi_j
\]
共轭算符
波函数表示：
在波函数表示中，共轭算符 \(\hat{A}^\dagger\) 满足：
\[
\int \psi^*(x) \left(\hat{A}^\dagger \phi(x)\right) dx = \int \left(\hat{A} \psi(x)\right)^* \phi(x) dx
\]
Dirac 表示：
在 Dirac 表示中，共轭算符 \(\hat{A}^\dagger\) 满足：
\[
\langle \psi | \hat{A}^\dagger \phi \rangle = \langle \phi | \hat{A} \psi \rangle^*
\]
矩阵表示：
在矩阵表示中，共轭算符 \(\hat{A}^\dagger\) 表现为矩阵的共轭转置：
\[
A^\dagger = (A^*)^T
\]
厄米算符
波函数表示：
波函数表示下，厄米算符的性质可以通过积分形式表示出来：
\[
\int \phi^*(x) \hat{A} \psi(x) \, dx = \int \psi^*(x) \hat{A} \phi(x) \, dx
\]
Dirac 表示：
\[
\langle \phi | \hat{A} | \psi \rangle = \langle \psi | \hat{A} | \phi \rangle^*
\]
矩阵表示：
\[
A_{ij} = A^*_{ji}
\]
力学量的本征方程
波函数表示
\[
\hat{A} \psi = a \psi
\]
Dirac 表示：
\[
\hat{A} |\psi\rangle = a |\psi\rangle
\]
矩阵表示：
\[
A \psi = a \psi
\]
不知道写点啥
态的线性叠加
波函数表示
量子态波函数的线性叠加为：
\[
\psi = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2 + ···
\]
Dirac 表示
态矢量的线性叠加为：
\[
|\psi\rangle = c_1 |\psi_1\rangle + c_2 |\psi_2\rangle + ···
\]
矩阵表示
向量叠加为：
\[
\psi = c_1 \psi_1 + c_2 \psi_2 + ···
\]
力学量的平均值
波函数表示：
平均值通过积分定义为：
\[
\langle A \rangle = \int \psi^*(x) \hat{A} \psi(x) dx
\]
Dirac 表示：
平均值表示为：
\[
\langle A \rangle = \langle \psi | \hat{A} | \psi \rangle
\]
矩阵表示：
平均值为：
\[
\langle A \rangle = \psi^\dagger A \psi
\]
最后这一部分不知道该写些什么，可能是我学艺不精吧。整理至此。