反馈系统的稳定性分析与优化设计¶
2024.10.7
一、实验目标¶
- 理解增益带宽积与次极点相对位置和相位裕度的关系
- 研究增益带宽积（GBW）与次极点位置对系统稳定性的影响
- 确定反馈系数的最优值
- 了解iwave中计算器（calculator）的使用方法
- 掌握iwave属性的高级调节方式
二、实验要求¶
- 在8.1.4小节的仿真实验的基础上，修改次级点位置至0.2倍的GBW处，根据反馈原理，为使闭环传递函数的幅频响应不存在尖峰，求解最大可接受的反馈系数，并通过仿真验证。
三、理论求解¶
图1：反馈系统
假设一放大器连接成如图所示的反馈形式，且其自身的直流增益、带宽、增益带宽积和次极点分别为\(A_{0}\)、 \(w_{0}\)、\(GBW_{0}和W_{p,nd}(均为角频率)\)，则其开环传递函数为
\[
H\left(s\right)=A_{0L}=\frac{A_{0}}{\left(1+\frac{s}{\omega_{0}}\right)\left(1+\frac{s}{\omega_{p,nd}}\right)}\approx\frac{GBW_{0}}{s\left(1+\frac{s}{\omega_{p,nd}}\right)}\\
\]
则形成闭环后的传递函数
\[
T\left(s\right)=A_{\mathrm{CL}}=\frac{H(s)}{1+\beta H(s)}=\frac{\mathrm{GBW}_{0}}{\frac{1}{\omega_{\mathrm{p,nd}}}s^{2}+s+\beta\mathrm{GBW}_{0}}
\]
二阶控制系统的典型传递函数在时域和频域的表达式如下：
频域传递函数
- 在频域，二阶控制系统的传递函数 \(G(s)\) 通常可以表示为：
\[
G(s) = \frac{\omega_n^2}{s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2}
\]
其中：
- \(s\) 是拉普拉斯变换中的复频率变量，
- \($\omega_n$\) 是系统的自然频率，
- (\(\zeta\) ) 是系统的阻尼系数。
则将闭环增益二阶相应函数与二阶系统控制函数\(Hs=s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2\)进行对应转换，可得到该闭环相应的阻尼系数
\[
\zeta= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{\omega_{p,nd}}{\beta GBW_{0}}}
\]
考虑本题要求次级点位置至0.2倍的GBW处
\[
\zeta= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{5 \beta}}
\]
按照教材上选取\(\zeta=\frac{\sqrt{2}}{2}\),这时系统处于临界阻尼状态(存疑)，幅频曲线较为平坦。因此：
\[
\beta = 0.1
\]
四、仿真验证¶
- 如图，搭建教材8.1.4所示的电路
图2：测试电路
- 设计参数如下
图3：开环传递函数参数
- 按照教材设定的AC仿真参数仿真，得到的闭环传递函数的波特图如下
图4：闭环传递函数波特图
可以看出，在此情况下，闭环传递函数的波特图十分平缓，未出现尖峰，系统没有稳定性问题。
- 将\(\beta\)适当上调为0.15，仿真得到的闭环传递函数的波特图幅频曲线上出现尖峰，从侧面证明理论求解的\(\beta\) 是正确的。
图5：提高β后的闭环传递函数波特图
- 对开环传递函数观察，相位裕度为25度，剪切频率为4.3MHz。
图6：剪切频率与相位裕度
五、实验总结¶
-
仿真与理论结合：理论推导为反馈系数的选取提供了依据，而仿真进一步验证了理论的正确性。特别是在\(\beta\)值上调至0.15后，出现了尖峰现象，证明了理论推导的\(\beta = 0.1\)是最优选择。
-
增益带宽积与次极点位置的关系：次极点距离主极点越远，系统的相位裕度越大，说明系统在反馈条件下的稳定性越好。通过调整次极点至0.2倍GBW处，与教材进行对比，结合理论公式和波特图的变化，进一步验证了该结论。
- 阻尼系数与反馈系数的调节：在选择反馈系数\(\beta\)时，发现\(\beta\)过大会引起系统的不稳定性，表现在闭环波特图中出现尖峰，幅频响应急剧变化。通过理论求解和仿真调整\(\beta\)，确定\(\beta = 0.1\)时系统达到临界阻尼状态，曲线平滑且无尖峰。
- 熟练掌握iwave中计算器功能的使用，可以更灵活地处理复杂的表达式，提升仿真结果的处理效率。